Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

a

x

-3ln x．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f （x） 的最小值；
（2）若f（x）在[1，e]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x+

2

x

-3lnx，求導(dǎo)得f'（x）=2-

2

x2

-

3

x

=

2x2-3x-2

x2

，因?yàn)槎�義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，求得極值即為最值．
（2）先求f'（x）=

ax2-3x-a

x2

，再由“f（x）在[1，e]上為單調(diào)函數(shù)”轉(zhuǎn)化為“f'（x）≥0或f'（x）≤0在[1，e]上恒成立”，最后轉(zhuǎn)化為最值法求解．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x+

2

x

-3lnx
f'（x）=2-

2

x2

-

3

x

=

2x2-3x-2

x2

令f'（x）=0得x=2或-

1

2

（∵x＞0，舍去負(fù)值）
∴當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為5-3ln2．（6分）

（2）∵f'（x）=

ax2-3x-a

x2

，
令h（x）=ax²-3x-a=a（x-

3

2a

）²-

9+4a2

4a

，
要使f（x）在[1，e]上為單調(diào)函數(shù)，
只需f'（x）在（1，e）內(nèi)滿足：f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立，且等號(hào)只在孤立點(diǎn)取得．
∵h(yuǎn)（1）=-3＜0
∴h（e）=ae²-3e-a≤0
∴a≤

3e

e2-1

①當(dāng)0≤a≤

3e

e2-1

時(shí)，f'（x）≤0恒成立
②當(dāng)a＜0時(shí)，x=

3

2a

∉[1，e]，
∴h（x）＜0（x∈[1，e]）
∴f'（x）＜0，符合題意．
綜上可知，當(dāng)a≤

3e

e2-1

時(shí)，f（x）在[1，e]上為單調(diào)函數(shù)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零，已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍往往轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問(wèn)題．