Question

設數列{a_n}的前n項和為．
（1）求證：數列為等差數列；
（2）設數列的前n項和為T_n，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意：na_n=S_n+2n（n-1），將a_n=S_n-S_n-1代換可得（n-1）S_n-nS_n-1=2n（n-1），變形得，從而數列為等差數列；
（2）先求出S_n，然后根據a_n=S_n-S_n-1求出a_n，然后利用裂項求和法求出T_n，根據T_n為增函數，可求出T_n為的范圍．
解答：解：（1）證明：由題意：na_n=S_n+2n（n-1），∴n（S_n-S_n-1）=S_n+2n（n-1）（n∈N₊，n≥2）…（2分）
即：（n-1）S_n-nS_n-1=2n（n-1），∴，
所以數列為等差數列；                                             …（6分）
（2）由（1）得：，∴S_n=2n²-n，
∴a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-2（n-1）²+（n-1）=4n-3，（n∈N₊，n≥2）…（8分）
∴，…（10分）
又T_n為增函數，∴，∴…（13分）
點評：本題主要考查了等差數列的判定，以及利用裂項求和法進行求和，同時考查了利用單調性求范圍等有關知識，屬于中檔題．