定義:若上為增函數(shù),則稱為“k次比增函數(shù)”,其中. 已知其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若是“1次比增函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當時,求函數(shù)上的最小值;
(3)求證:.

(1) ;(2)詳見解析;(3)詳見解析.3.詳見解析.

解析試題分析:(Ⅰ)由于是“1次比增函數(shù)”,得到上為增函數(shù),求導后,導數(shù)大于等于0,分離參數(shù),轉化為恒成立,求最值的問題,即可得到實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當時,得到函數(shù),,利用導數(shù)即可得到的單調區(qū)間,分成,三種情況進行分類討論即可函數(shù)在上單調性,進而得到其最小值;
(Ⅲ)由(Ⅱ)當時, ,即,則,即可證明:.,
試題解析:(1)由題意知上為增函數(shù),因為
恒成立.又,則上恒成立,
上恒成立. 而當時,,所以,
于是實數(shù)a的取值范圍是.            4分
(2)當時,,則.
,即時,;
,即時,.
的增區(qū)間為(2,+∞),減區(qū)間為(-∞,0),(0,2).  6分
因為,所以,
①當,即時,在[]上單調遞減,
所以.
②當,即時,上單調遞減,
上單調遞增,所以.
③當時,在[]上單調遞增,所以.
綜上,當時,;
時,
時,.          9分
(3)由(2)可知,當時,,所以
可得

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