Question

已知二次函數(shù)y=f（x）=x²+bx+c的圖象過點(diǎn)（1，13），圖象關(guān)于直線x=-

1

2

對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，
①若函數(shù)y=g（x）-m的零點(diǎn)有三個(gè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②求函數(shù)g（x）在[t，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由二次函數(shù)y=f（x）=x²+bx+c的圖象過點(diǎn)（1，13），圖象關(guān)于直線x=-

1

2

對稱．構(gòu)造關(guān)于b，c的方程，解方程，可得函數(shù)的解析式；
（2）求出函數(shù)g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|的解析式，畫出函數(shù)的圖象，利用圖象可分析出答案．

解答： 解：（1）二次函數(shù)y=f（x）=x²+bx+c的圖象過點(diǎn)（1，13），圖象關(guān)于直線x=-

1

2

對稱．
∴

b+c+1=13 b=1

，
解得：

b=1 c=11

，
故y=f（x）=x²+x+11，
（2）由（1）得g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|=（x-2）|x|，
其圖象如下圖所示：

①若函數(shù)y=g（x）-m的零點(diǎn)有三個(gè)，即y=g（x）的圖象與y=m有三個(gè)交點(diǎn)，
由圖可得，m∈[-1，0]
②由圖可得，
當(dāng)t≤1-

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在[t，2]上最小值為：g（t）=-t²+2t，
當(dāng)1-

2

＜t≤1時(shí)，函數(shù)g（x）在[t，2]上最小值為：g（1）=-1，
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，函數(shù)g（x）在[t，2]上最小值為：g（t）=t²-2t，

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次不等式的解法，難度不大，屬于中檔題．