已知M（2，2
2
）為拋物線C：y2=2px（p＞0）上一點
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A、B拋物線C上異于原點O的兩點且∠AOB=90°，求證：直線AB恒過定點，并求出該定點坐標(biāo)．
考點：拋物線的簡單性質(zhì)
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）M（2，2
2
）代入拋物線方程，即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，與拋物線方程聯(lián)立，利用OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0，可得直線AB的方程，即可得出結(jié)論．
解答： （1）解：∵M（2，2
2
）為拋物線C：y2=2px（p＞0）上一點，
∴8=4p，
∴p=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x    （5分）
（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立y2=4x得kx2+（2km-4）x+m2=0，
依題意有k≠0，x1+x2=-
2km-4
k2
且x1x2=
m2
k2
①，（6分）
∵∠AOB=90°，
∴OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0，
即（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0（8分）
①代入化簡得m2+4km=0，故m=-4k，此時直線l：y=kx-4k=（x-4）k，恒過點N（4，0）（10分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)l：x=t，可解得t=4，故直線恒過定點N（4，0）（12分）
點評：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，證明直線AB必過定點時，要熟練掌握其中設(shè)而不求的解題思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）=x2+bx+c的圖象過點（1，13），圖象關(guān)于直線x=-
1
2
對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x2-13]•|x|，
①若函數(shù)y=g（x）-m的零點有三個，求實數(shù)m的取值范圍；
②求函數(shù)g（x）在[t，2]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，如圖所示莖葉圖的數(shù)據(jù)是他們在培訓(xùn)期間五次預(yù)賽的成績．已知甲、乙兩位學(xué)生的平均分相同．
（注：方差s2=
1
n
[（x1
.
x
）2+（x2-
.
x
）2+…+（xn-
.
x
）2]）
（Ⅰ）求x以及甲、乙成績的方差；
（Ⅱ）現(xiàn)由于只有一個參賽名額，請你用統(tǒng)計或概率的知識，分別指出派甲參賽、派乙參賽都可以的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等差數(shù)列中，a4=14，前n項和為Sn，S8=124．
（1）求{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=n（a2n-2），求數(shù)列{bn}和前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意正整數(shù)n，有Sn，
a
2(a-1)
an，n（其中a≠0，a≠1）成等差數(shù)列，令bn=（an+1）lg（an+1）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an（用a，n表示）；
（2）當(dāng)a=
8
9
時，數(shù)列{bn}是否存在最小項，若存在，請求出第幾項最��；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點p（-4，0）作曲線y=xex的切線，則切線方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設(shè)aij（i，j∈N+）是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個數(shù)，如a52=11．則a87=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，則A∪B=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線x=4y2 的焦點坐標(biāo)是
 
．

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同步練習(xí)冊答案