Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O為底面中心，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB．M是PD的中點(diǎn)
（1）求證：直線(xiàn)MO∥平面PAB；
（2）求證：平面PCD⊥平面ABM．
（3）求直線(xiàn)PB與平面ABM所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,直線(xiàn)與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）分別取線(xiàn)段AB、PA的中點(diǎn)E、F，證明MO∥FE，即可證明直線(xiàn)MO∥平面PAB；
（2）證明平面PCD⊥平面ANM，只需證明AM⊥平面PCD，只需證明CD⊥平面PAD；
（3）證明PM⊥平面ABM，可得∠PBM為直線(xiàn)PB與平面ABM所成角，從而可求直線(xiàn)PB與平面ABM所成角的正弦值．

解答： （1）證明：分別取線(xiàn)段AB、PA的中點(diǎn)E、F，則FM∥AD，EO∥AD，所以FM∥EO，
又|FM|=

1

2

|AD|=|EO|，所以四邊形FMOE為平行四邊形，
所以MO∥FE，
又FE?平面PAB，MO?平面PAB，
所以直線(xiàn)MO∥平面PAB（5分）
（2）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD=A，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥AM，
又AM⊥PD，CD∩PD=D，
所以AM⊥平面PCD，
又AM?平面ABM，
所以平面PCD⊥平面ABM；                 （10分）
（3）解：由（2）知，PM⊥AM，PM⊥AB，
因?yàn)锳M∩AB=A，
所以PM⊥平面ABM，
所以∠PBM為直線(xiàn)PB與平面ABM所成角．
令|AB|=1，則|PM|=

2

，|PB|=

5

，
所以sin∠PBM=

2

5

=

10

5

（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直，考查面面垂直，考查線(xiàn)面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用線(xiàn)面平行、面面垂直的判定定理是關(guān)鍵．