Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n項和為S_n，且當n≥2時，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

．
（1）求證：數(shù)列數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）另b_n=

an

( an 3 +1)( an+1 3 +1)

，記數(shù)列的前n項的和為Tn，試證明：T_n＜

7

8

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1，得

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

，從而得到Sn2=Sn-1Sn=1，n≥2，由此能證明數(shù)列數(shù)列{S_n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列．進而得到Sn=4n-1，由此能求出an=

1，n=1 3•4n-2，n≥2

．
（2）由b_n=

an

( an 3 +1)( an+1 3 +1)

，知當n=1時，T_n=

1

( 1 3 +1)( 3 3 +1)

=

3

8

＜

7

8

．當n≥2時，b_n=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

，由此利用裂項求和法能證明T_n＜

7

8

．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n項和為S_n，
且當n≥2時，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

，
∴由a_n=S_n-S_n-1，得

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

，
化簡，得Sn2=Sn-1Sn=1，n≥2，
又a₁=1，a₂=3，∴S₁=1，S₂=4，
∴數(shù)列數(shù)列{S_n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列．
∴Sn=4n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=4^n-1-4^n-2=3•4^n-2，n≥2．
n=1時，3•4^n-2=

3

4

≠a1，
∴an=

1，n=1 3•4n-2，n≥2

．
（2）b_n=

an

( an 3 +1)( an+1 3 +1)

，
當n=1時，T_n=

1

( 1 3 +1)( 3 3 +1)

=

3

8

＜

7

8

．
當n≥2時，b_n=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

，
∴T_n=

3

8

+

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

=

3

8

+

1

2

-

1

4n-1+1

=

7

8

-

1

4n-1+1

＜

7

8

．
∴T_n＜

7

8

．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．