Question

設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，若對(duì)?x₁，x₂∈I，都有，則稱(chēng)f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；若對(duì)?x₁，x₂∈I，都有，則稱(chēng)f（x）是區(qū)間I的向下凸函數(shù)，有下列四個(gè)判斷：
①若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，則-f（x）在區(qū)間I的向下凸函數(shù)；
②若f（x）和g（x）都是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，則f（x）+g（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；
③若f（x）在區(qū)間I的向下凸函數(shù)，且f（x）≠0，則是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；
④若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，?x₁，x₂，x₃，x₄∈I，則有f（）≥
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：對(duì)于①②④直接利用函數(shù)是“凸函數(shù)”的定義，通過(guò)放縮法證明即可；對(duì)于③利用舉反例的方法結(jié)合圖象法即可進(jìn)行判斷．
解答：①若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，則對(duì)?x₁，x₂∈I，都有，
∴，
∴-f（x）在區(qū)間I的向下凸函數(shù)；正確．
②若f（x）和g（x）都是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，則對(duì)?x₁，x₂∈I，都有，
，兩式相加得
∴f（x）+g（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；正確．
③若f（x）在區(qū)間I的向下凸函數(shù)，且f（x）≠0，則不一定是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；
如f（x）=e^x，，如圖，

它們都是向下凸函數(shù)．故錯(cuò)．
④若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，
?x₁，x₂，x₃，x₄∈I，則有f（）=f（）
≥，故正確．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是3．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用以及放縮法證明問(wèn)題的步驟，新定義的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．