Question

（1）如果兩個實數(shù)u＜v，求證：2u＜

v2-u2

v-u

＜2v．
（2）定義  設(shè)函數(shù)F（x）和f（x）都在區(qū)間I上有定義，若對I的任意子區(qū)間[u，v]，總有[u，v]上的p和q，使有不等式f(p)≤

F(u)-F(v)

u-v

≤f(q)成立，則稱F（x）是f（x）在區(qū)間I上的甲函數(shù)，f（x）是F（x）在區(qū)間I上的乙函數(shù)．
請根據(jù)乙函數(shù)定義證明：在（0，+∞）上，函數(shù)g(x)=

1

2 x

是f(x)=

x

的乙函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由u＜v有 2u＜u+v＜2v，結(jié)合u+v═

v2-u2

v-u

，可證；
（2）根據(jù)f（x）是F（x）在區(qū)間I上的乙函數(shù)的定義，只需證：g(v)=

1

2 v

≤

f(v)-f(u)

v-u

≤

1

2 u

=g(u)．

解答：解：（1）證：由u＜v有 2u＜u+v＜2v．  即 2u＜

v2-u2

v-u

＜2v
（2 ）證明：對0＜u＜v有

f(v)-f(u)

v-u

=

v - u

v-u

=

1

v + u

不等式g(v)=

1

2 v

≤

1

u + v

≤

1

2 u

=g(u)
表明，g(x)=

1

2 x

是f(x)=

x

的乙函數(shù)．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查新定義，考查新函數(shù)的運用，關(guān)鍵是理解新定義．