Question

已知f（x）為R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=2e^x．
（1）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（2）當m＞0時，比較f（m-1）與f（3-m）的大��；
（3）求最小的整數(shù)m（m＞1），使得存在實數(shù)t，對任意的x∈[1，m]，都有f（x+t）≤2ex．

Answer 1

解：（1）當x＜0時，-x＞0，∵當x≥0時，f（x）=2e^x，
∴f（-x）=2e^-x，
因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=2e^-x，（3分）
（2）因為f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以
①當m＞2時，|m-1|＞|3-m|≥0，所以f（m-1）＞f（3-m）；
②當m=2時，|m-1|=|3-m|，所以f（m-1）=f（3-m）；
③當0＜m＜2時，0≤|m-1|＜|3-m|，所以f（m-1）＜f（3-m）； （9分）
（3）由f（x+t）≤2ex得2e^|x+t|≤2ex
∴|x+t|≤lnx+1
∴-x-lnx-1≤t≤-x+lnx+1在[1，m]上恒成立
設g（x）=-x+lnx+1，則g′（x）=，因為x∈[1，m]，所以g′（x）≤0，所以函數(shù)g（x）在[1，m]上單調(diào)減，
所以g（x）_min=g（m）=-m+lnm+1，
設h（x）=-x-lnx-1，則h（x）在[1，m]上單調(diào)減，所以h（x）_max=h（1）=-2，
故-2≤t≤-m+lnm+1，
要此不等式有解必有-m+lnm+1≥-2，又m＞1，所以m=2滿足要求，
故所求的最小正整數(shù)m為2．
分析：（1）當x＜0時，-x＞0，根據(jù)x≥0時，f（x）=2e^x，結(jié)合f（x）為偶函數(shù)，即可得到f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，將變量的絕對值加以比較，即可得到函數(shù)值的大小關系；
（3）由f（x+t）≤2ex得2e^|x+t|≤2ex，從而問題轉(zhuǎn)化為x-lnx-1≤t≤-x+lnx+1在[1，m]上恒成立，分別求出左邊的最大值，右邊的最小值，即可確定最小正整數(shù)m的值．
點評：本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)值的大小比較，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值是解題的關鍵．