Question

已知 f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＜f'（x）和f（x）＞0對于x∈R恒成立，則有（　　）

• A、f（2）＜e²-f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰-f（0）
• B、f（2）＞e²-f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰-f（0）
• C、f（2）＜e²-f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰-f（0）
• D、f（2）＜e²-f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰-f（0）

Answer 1

分析：先構(gòu)造函數(shù)y=

f(x)

ex

，對該函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，化簡變形可判定導(dǎo)函數(shù)的符號，再判斷增減性，從而得到答案．

解答：解：∵f（x）＜f'（x） 從而 f'（x）-f（x）＞0 從而

ex[f′(x)-f(x)]

e2x

＞0
從而 (

f(x)

ex

)′＞0 從而函數(shù)y=

f(x)

ex

單調(diào)遞增，故 x=2時(shí)函數(shù)的值大于x=0時(shí)函數(shù)的值，
即

f(2)

e2

＞f(0)所以f（2）＞e²f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰f（0）．
故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系，即導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．