Question

已知f（x）為R上的奇函數(shù)，且f（x+1）=-f（x），若存在實數(shù)a、b使得f（a+x）=f（b-x），則a、b應(yīng)滿足關(guān)系

a+b=1+2k（k∈N^*）

．

Answer 1

分析：利用換元法可得f（t）=f（a+b-t），再利用f（x）為R上的奇函數(shù)，f（t-（a+b））=-f（t），f[（t+a+b）-（a+b）]=-f[t+（a+b）]，即f（t+（a+b））=-f（t）=f（t+1），再次換元令x=t+1，則f（x）=f（x+（a+b-1）），結(jié)合f（x+2）=f（x）可求得a、b應(yīng)滿足關(guān)系．

解答：解：令a+x=t，則x=t-a，f（t）=f（a+b-t），
又f（x）為R上的奇函數(shù)，且f（x+1）=-f（x），
∴f（t-（a+b））=-f（t）=f（t+（a+b）），
∴f（t+（a+b））=f（t+1），
再令x=t+1，則f（x）=f（x+（a+b-1）），
由f（x+1）=-f（x）得f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)，∴a+b-1=2k（k∈N*）．
故答案為：a+b=2k+1（k∈N*）．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，難點在于合理換元，充分利用函數(shù)的奇偶性與周期性解決問題，屬于難題．