Question

定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（3x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)3≤x≤9時(shí)，f（x）=1-|x-6|，若函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線上，則c=________．

Answer 1

1或3
分析：由已知可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出極值點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線，則任取兩點(diǎn)確定的直線斜率相等，可以構(gòu)造關(guān)于c的方程，解方程可得答案．
解答：當(dāng)3^n-1≤x≤3ⁿ（n∈N^*）時(shí)，
∵函數(shù)f（x）滿足：①f（3x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)3≤x≤9時(shí)，f（x）=1-|x-6|，
∴n≥2時(shí)，f（x）=c^n-1×f（）=c^n-1×[1-|-6|]
由函數(shù)解析式知，當(dāng)-6=0時(shí)，函數(shù)取得極大值c^n-1，
∴極大值點(diǎn)坐標(biāo)為（6×3^n-2，c^n-1）
∴n≥3時(shí)，根據(jù)直線斜率相等即=，化簡可得c-1=
解得c=1或3
故答案為：1或3．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是三點(diǎn)共線，函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．