四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，其表面積為
 
．
考點(diǎn)：組合幾何體的面積、體積問題
專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離
分析：判斷幾何體體積最大時(shí)的結(jié)構(gòu)特征，然后利用四面體的表面積就是表面四個(gè)三角形的面積和，可直接運(yùn)用三角形的面積求解．
解答： 解：△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形，三棱錐的體積的最大值，是A到底面的距離最大時(shí)取得，就是側(cè)面ABC與底面BCD垂直時(shí)取得最大值．此時(shí)
△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長為a，底邊長為
6
2
a，
∴S△ABC=S△BCD=
1
2
a×
3
2
a=
3
4
a2，
S△ABD=S△ACD=
1
2
×
6
2
a×
a2-
3
8
a2
=
15
8
a2，
∴當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，其表面積S=
3
4
a2+
15
8
a2．
故答案為：
3
4
a2+
15
8
a2．
點(diǎn)評：本題考查了棱錐的體積和表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力，考查了函數(shù)思想，運(yùn)用了基本不等式求函數(shù)的最值，此題是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15
2
海里/小時(shí)，在甲船出發(fā)的同時(shí)，乙船從A島正南方向30海里處的B島出發(fā)，朝北偏東θ(tanθ=
3
4
)的方向作勻速直線航行，速度為m海里/小時(shí)．
（1）求2小時(shí)后，甲船的位置離B島多遠(yuǎn)？
（2）若兩船能恰好在某點(diǎn)M處相遇，求乙船的速度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范圍．
（Ⅱ）設(shè)x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，求x+y+z的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點(diǎn)（
2
，0）引直線l與曲線y=
1-x2
相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓：（x-1）2+y2=2，則過點(diǎn)（2，1）作該圓的切線方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（-1，0，2），B（2，0，-4），則A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓x2+y2-2axcosθ-2bysinθ-a2sin2θ=0在x軸上截得的弦長為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓C：x2+y2-4x+2y=0關(guān)于直線l：x-y+1=0對稱的圓的方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=2sin2x-1的最小正周期為T，最大值為A，則（　　）
A、T=π，A=1
B、T=2π，A=1
C、T=π，A=2
D、T=2π，A=2

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