過點(diǎn)（
2
，0）引直線l與曲線y=
1-x2
相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于
 
．
考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系
專題：直線與圓
分析：通過曲線方程確定曲線表示單位圓在x軸上方的部分（含于x軸的交點(diǎn)），直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且直線不與x軸重合，從而確定直線斜率
-1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面積，利用二次函數(shù)求最值，確定直線斜率k的值．
解答： 解：由y=
1-x2
，得
x2+y2=1（y≥0）
∴曲線y=
1-x2
表示単位圓在x軸上方的部分（含于x軸的交點(diǎn)）
由題知，直線斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，
若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且直線不與x軸重合
則-1＜k＜0
∴直線l的方程為：y-0=k(x-
2
)
即kx-y-
2
k=0
則圓心O到直線l的距離d=
|-
2
k|
1+k2
=
-
2
k
1+k2

直線l被半圓所截得的弦長(zhǎng)為
|AB|=2
r2-d2
=2
1-(
-
2
k
1+k2
)2
=2
1-k2
1+k2

∴S△AOB=
1
2
d|AB|
=
1
2
-
2
k
1+k2
•2
1-k2
1+k2

=
2k2(1-k2)
(1+k2)2

=
-
4
(1+k2)2
+
6
1+k2
-2

令
1
1+k2
=t
則S△AOB=
-4t2+6t-2

當(dāng)t=
3
4
，即
1
1+k2
=
3
4
時(shí)
S△AOB有最大值為
1
2

此時(shí)，
1
1+k2
=
3
4

∴k=±
3
3

又∵-1＜k＜0
∴k=-
3
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合，二次函數(shù)求最值等思想進(jìn)行解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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過點(diǎn)P（4，5）引圓（x-2）2+y2=4的切線，求切線方程．

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已知：a，b，c分別是銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量
a
=(sinA，2
3
sinA)，
b
=(2cosA，sinA)，設(shè)f（x）=
a
•
b
，
（1）若f(A)=2
3
，求角A；
（2）在（1）的條件下，若
b
tanB
+
c
tanC
=
2a
tanA
，a=2，求三角形ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓（x-1）2+y2=1被直線x-y=0分成兩段圓弧，則較短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
m
=(2，1)，
n
=(sinθ，cosθ)，其中θ∈(0，
π
2
)為過點(diǎn)A（1，4）的直線l的傾斜角，若當(dāng)
m
•
n
最大時(shí)，直線l恰好與圓（x+1）2+（y-2）2=r2（r＞0）相切，則r=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

2+2cos8
+2
1-sin8
的化簡(jiǎn)結(jié)果是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

四面體的六條棱中，有五條棱長(zhǎng)都等于a，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，其表面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在區(qū)間[-1，2]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則事件“1≤2x≤2”發(fā)生的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移
π
6
個(gè)單位后與函數(shù)y=cos(2x-
π
2
)的圖象重合．則y=f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=cos(2x-
π
3
)
B、f(x)=cos(2x+
π
6
)
C、f(x)=cos(2x-
π
6
)
D、f(x)=cos(2x+
π
3
)

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