【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為( ,0),離心率為 .
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0 , y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.
【答案】
(1)解:依題意知 ,求得a=3,b=2,
∴橢圓的方程為 =1
(2)解:①當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時(shí),即A、B兩點(diǎn)分別位于橢圓長(zhǎng)軸與短軸的端點(diǎn),P的坐標(biāo)為(±3,±2),符合題意,
②當(dāng)兩條切線斜率均存在時(shí),設(shè)過點(diǎn)P(x0,y0)的切線為y=k(x﹣x0)+y0,
= + =1,整理得(9k2+4)x2+18k(y0﹣kx0)x+9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,
∴△=[18k(y0﹣kx0)]2﹣4(9k2+4)×9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,
整理得(x02﹣9)k2﹣2x0×y0×k+(y02﹣4)=0,
∴﹣1=k1k2= =﹣1,
∴x02+y02=13.
把點(diǎn)(±3,±2)代入亦成立,
∴點(diǎn)P的軌跡方程為:x2+y2=13
【解析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率求得a和b,則橢圓的方可得.(2)設(shè)出切線的方程,帶入橢圓方程,整理后利用△=0,整理出關(guān)于k的一元二次方程,利用韋達(dá)定理表示出k1k2 , 進(jìn)而取得x0和y0的關(guān)系式,即P點(diǎn)的軌跡方程.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí),掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx,F(xiàn)(x)=ex+ax,其中x>0,a<0.
(1)若f(x)和F(x)在區(qū)間(0,ln3)上具有相同的單調(diào)性,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a∈(﹣∞,﹣ ],且函數(shù)g(x)=xeax﹣1﹣2ax+f(x)的最小值為M,求M的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】?jī)蓚(gè)單位向量 , 的夾角為60°,點(diǎn)C在以O(shè)圓心的圓弧AB上移動(dòng), =x +y ,則x+y的最大值為( )
A.1
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0),離心率為 ,兩焦點(diǎn)分別為F1、F2 , 過F1的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),且△F2MN的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)P(m,0)作圓x2+y2=1的切線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=2sin(2x+ )的圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位,再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱,則φ的最小值為( )
A. π
B. π
C. π
D. π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年中國(云南賽區(qū))三對(duì)三籃球聯(lián)賽在昆明市體育局的大力支持下,圓滿順利結(jié)束.組織方統(tǒng)計(jì)了來自 , , , , 球隊(duì)的男子的平均身高與本次比賽的平均得分,如下表所示:
球隊(duì) | |||||
平均身高 (單位: ) | 170 | 174 | 176 | 181 | 179 |
平均得分 (單位:分) | 62 | 64 | 66 | 70 | 68 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求 關(guān)于 的線性回歸方程(系數(shù)精確到 );
(2)若 隊(duì)平均身高為 ,根據(jù)(1)中所求得的回歸方程,預(yù)測(cè) 隊(duì)的平均得分.(精確到個(gè)位) 注:回歸方程 中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為
, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱柱 中,底面 為矩形,面 ⊥平面 , = = = , =2, 是 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: ⊥ ;
(Ⅱ)求BD與平面 所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD為平行四邊形,若∠DAB=60°,AB=2,AD=1.
(1)求證:PA⊥BD;
(2)若∠PCD=45°,求點(diǎn)D到平面PBC的距離h.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)F(x)= ,(a為實(shí)數(shù)).
(1)根據(jù)a的不同取值,討論函數(shù)y=f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)若對(duì)任意的x≥1,都有1≤f(x)≤3,求a的取值范圍.
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