【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx,F(xiàn)(x)=ex+ax,其中x>0,a<0.
(1)若f(x)和F(x)在區(qū)間(0,ln3)上具有相同的單調(diào)性,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a∈(﹣∞,﹣ ],且函數(shù)g(x)=xeax﹣1﹣2ax+f(x)的最小值為M,求M的最小值.
【答案】
(1)解:求導(dǎo),f′(x)=a﹣ = ,F(xiàn)′(x)=ex+a,x>0,
a<0,f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
當(dāng)﹣1a<0時,F(xiàn)′(x)>0,即F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不合題意
當(dāng)a<﹣1時,由F′(x)>0,得x>ln(﹣a),由F′(x)<0,得0<x<ln(﹣a),
∴F(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,ln(﹣a)),單調(diào)增區(qū)間為(ln(﹣a),+∞)
∵f(x)和F(x)在區(qū)間(0,ln3)上具有相同的單調(diào)性,
∴l(xiāng)n(﹣a)ln3,解得:a﹣3,
綜上,a的取值范圍是(﹣∞,﹣3];
(2)解:g′(x)=eax﹣1+axeax﹣1﹣a﹣ =(ax+1)(eax﹣1﹣ ),
由eax﹣1﹣ =0,解得:a= ,設(shè)p(x)= ,
則p′(x)= ,
當(dāng)x>e2時,p′(x)>0,當(dāng)0<x<e2,p′(x)<0,
從而p(x)在(0,e2)上單調(diào)遞減,在(e2,+∞)上單調(diào)遞增,
p(x)min=p(e2)=﹣ ,
當(dāng)a≤﹣ ,a≤ ,即eax﹣1﹣ ≤0,
在(0,﹣ )上,ax+1>0,g′(x)≤0,g(x)單調(diào)遞增,
在(﹣ ,+∞)上,ax+1<0,g′(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增,
∴g(x)min=g(﹣ )=M,
設(shè)t=﹣ ,∈(0,e2],M=h(t)= ﹣lnt+1,(0<t≤e2),
h′(t)= ﹣ ≤0,h(x)在,∈(0,e2]上單調(diào)遞減,
∴h(t)≥h(e2)=0,
∴M的最小值為0.
【解析】(1)先判斷f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,分別討論﹣1≤a<0及a<﹣1,結(jié)合F(x)的單調(diào)性即可求得區(qū)間(0,ln3)上具有相同的單調(diào)性,求得a的取值范圍;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得g(x)min=g(﹣ )=M,構(gòu)造輔助函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
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【題目】若f(x)為奇函數(shù),且x0是y=f(x)﹣ex的一個零點,則下列函數(shù)中,﹣x0一定是其零點的函數(shù)是( )
A.y=f(﹣x)e﹣x﹣1
B.y=f(x)ex+1
C.y=f(x)ex﹣1
D.y=f(﹣x)ex+1
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【題目】已知P是橢圓 上任意一點,過橢圓的右頂點A和上頂點B分別作x軸和y軸的垂線,兩垂線交于點C,過P作AC,BC的平行線交BC于點M,交AC于點N,交AB于點D,E,矩形PMCN的面積是S1 , 三角形PDE的面積是S2 , 則 =( )
A.2
B.1
C.
D.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),α∈[0,π)).以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=4sinθ. (Ⅰ)設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點,求x+y的取值范圍;
(Ⅱ)若直線l與曲線C交于兩點A,B,求|AB|的最小值.
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【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,以拋物線C上的點M(x0 , 2 )(x0> )為圓心的圓與線段MF相交于點A,且被直線x= 截得的弦長為 | |,若 =2,則| |= .
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【題目】圖是計算函數(shù) 的值的程度框圖,在①、②、③處應(yīng)分別填入的是( )
A.y=ln(﹣x),y=0,y=2x
B.y=ln(﹣x),y=2x , y=0
C.y=0,y=2x , y=ln(﹣x)
D.y=0,y=ln(﹣x),y=2x
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.
(Ⅰ)當(dāng)a=0時,解不等式f(x)≥g(x);
(Ⅱ)若存在x∈R,使得f(x)≥g(x)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+3|+|x﹣1|.
(1)解不等式f(x)>4;
(2)若x∈(﹣∞,﹣ ),不等式a+1<f(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點為( ,0),離心率為 .
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動點P(x0 , y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.
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