Question

關(guān)于曲線C：

x

+

y

=1，有以下幾個(gè)命題：
①方程中x，y的取值范圍都是[0，1]；
②曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
③曲線C與坐標(biāo)軸圍成的面積小于

1

2

；
④曲線C的長度小于

2

；
⑤曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為

2

4

；
其中所有不正確命題的序號(hào)是

④

．

Answer 1

分析：分別根據(jù)曲線的方程分別進(jìn)行判斷即可．

解答：解：①由

x

+

y

=1，得

y

=1-

x

≥0，解得0≤x≤1，同理得

x

=1-

y

≥0，即0≤y≤1，所以①正確．
②交換x，y的位置后曲線方程不變，所以曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以正確．
③當(dāng)0≤x≤1，0≤y≤1，時(shí)

x

≥x，

y

≥y，等號(hào)不能同時(shí)取，所以1=

x

+

y

＞x+y，則直線x+y=1與坐標(biāo)軸圍成的面積為

1

2

，所以曲線C與坐標(biāo)軸圍成的面積小于

1

2

；正確．
④由③知，直線線x+y=1在第一象限內(nèi)的長度為

2

，所以曲線C的長度小于

2

，所以正確．
⑤設(shè)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x，y），則|OA|=d=

x2+y2

≥

2xy

，又1=

x

+

y

≥2

x ? y

=2

xy

，
所以

xy

≤

1

4

，即

2xy

≤

2

4

，所以曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值不是

2

4

，所以④錯(cuò)誤，
故答案為：④

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的圖象和性質(zhì)，利用已有的知識(shí)研究函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生分析問題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．