關于曲線C：
x
+
y
=1，有以下幾個命題：
①方程中x，y的取值范圍都是[0，1]；
②曲線C關于直線y=x對稱；
③曲線C與坐標軸圍成的面積小于
1
2
；
④曲線C的長度小于
2
；
⑤曲線C上的點到原點的距離的最小值為
2
4
；
其中所有不正確命題的序號是
④
④
．
分析：分別根據曲線的方程分別進行判斷即可．
解答：解：①由
x
+
y
=1，得
y
=1-
x
≥0，解得0≤x≤1，同理得
x
=1-
y
≥0，即0≤y≤1，所以①正確．
②交換x，y的位置后曲線方程不變，所以曲線C關于直線y=x對稱，所以正確．
③當0≤x≤1，0≤y≤1，時
x
≥x，
y
≥y，等號不能同時取，所以1=
x
+
y
＞x+y，則直線x+y=1與坐標軸圍成的面積為
1
2
，所以曲線C與坐標軸圍成的面積小于
1
2
；正確．
④由③知，直線線x+y=1在第一象限內的長度為
2
，所以曲線C的長度小于
2
，所以正確．
⑤設曲線上點的坐標為A（x，y），則|OA|=d=
x2+y2
≥
2xy
，又1=
x
+
y
≥2
x
?
y
=2
xy
，
所以
xy
≤
1
4
，即
2xy
≤
2
4
，所以曲線C上的點到原點的距離的最小值不是
2
4
，所以④錯誤，
故答案為：④
點評：本題考查曲線的圖象和性質，利用已有的知識研究函數(shù)的性質是解決本題的關鍵，考查學生分析問題的能力，綜合性較強，難度較大．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
（1）參數(shù)方程與極坐標：求點M（2，
π
3
）到直線ρ=
3
sinθ+cosθ
上點A的距離的最小值．
（2）曲線C：
x=-1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù))關于直線y=1對稱的曲線的參數(shù)方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源：江西省重點中學協(xié)作體2009屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學理科試卷 題型：022

關于曲線C：x－2＋y－2＝1的下列說法：(1)關于原點對稱；(2)是封閉圖形，面積大于2π；(3)不是封閉圖形，與⊙O：x2＋y2＝2無公共點；(4)與曲線D：|x|＋|y|＝2的四個交點恰為正方形的四個頂點，其中正確的序號是________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設點(x0,y0)在曲線C:f(x,y)=0上,則曲線C′:f(y,x)+f(x0,y0)=0與C的關系是(    )

A.重合                                    B.關于直線y=x對稱

C.關于y軸對稱                         D.關于x軸對稱

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