Question

以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程為

x=5- 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為ρ=4cos（θ-

π

3

）．
（Ⅰ）求直線l和圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若點P（x，y）在圓C上，求x+

3

y的取值范圍．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由直線的參數(shù)方程可得直線過定點及直線的傾斜角，求出斜率后代入點斜式得直線的直角坐標方程．展開極坐標方程右邊，兩邊同時乘以ρ后，由極坐標和直角坐標的互化公式得答案；
（Ⅱ）求出圓的參數(shù)方程，得到圓上點的坐標，代入x+

3

y利用三角函數(shù)求得其取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程為

x=5- 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

（t為參數(shù)），
可得直線l過（5，-

3

），傾斜角為

5π

6

，由此可得直線l的直角坐標方程為：
y+

3

=-

3

3

(x-5)，即x+

3

y-2=0．
由ρ=4cos（θ-

π

3

），得
ρ=2cosθ+2

3

sinθ，兩邊同時乘以ρ得：ρ2=2ρcosθ+2

3

ρsinθ，
即(x-1)2+(y-

3

)2=4；
（Ⅱ）設

x=1+2cosθ y= 3 +2sinθ

，則
x+

3

y=2

3

sinθ+2cosθ+4=4sin(θ+

π

6

)+4．
由-1≤sin(θ+

π

6

)≤1，可得
0≤x+

3

y≤8．
即x+

3

y∈[0，8]．

點評：本題考查了參數(shù)方程和直角坐標方程的互化，考查了極坐標化直角坐標，是基礎題．