【題目】隨機抽取某校高一100名學(xué)生的期末考試英語成績(他們的英語成績都在80分140分之間),將他們的英語成績(單位:分)分成:,,,,六組,得到如圖所示的部分頻率分布直方圖,已知成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻數(shù)之和等于成績處于內(nèi)的頻數(shù),根據(jù)圖中的信息,回答下列問題:
(1)求頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和;
(2)求成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻率之差;
(3)用分層抽樣的方法從成績不低于120分的學(xué)生中選取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任選2人,記這2人中成績低于130分的人數(shù)為,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)0.45;(2)0.15;(3)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖中,所有小矩形面積和為1,所以剩余小矩形的面積等于1減去已知小矩形的面積。
(2)根據(jù)頻率之和等于概率,可得關(guān)于a、b的方程組,解方程組即可求得a、b的值,進而得到頻率差。
(3)根據(jù)事件X分布,可知X的所有可能為1,2。分別求得兩種情況下的概率,即可得分布列,進而求得期望。
(1)由題意可知,成績處于內(nèi)的概率為
所以頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和為0.45
(2)設(shè)成績處于與內(nèi)的頻率分別為,
因為成績處于內(nèi)與內(nèi)的概率之和等于成績處于內(nèi)的頻率,
所以成績處于內(nèi)與內(nèi)的概率之和等于成績處于內(nèi)的概率,
所以,解得
所以成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻率之差為
(3)由題可知,成績處于內(nèi)的學(xué)生數(shù)為,成績處于內(nèi)的學(xué)生數(shù)為,所以用分層抽樣的方法從身高不低于120分的學(xué)生中選取一個容量為6的樣本,需從成績處于內(nèi)的學(xué)生中選取5人,從成績處于內(nèi)的學(xué)生中選取1人,易知的所有可能取值是1,2,
所以隨機變量的分布列為
X | 1 | 2 |
P |
|
|
所以.
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【題目】從一批草莓中,隨機抽取個,其重量(單位:克)的頻率分布表如下:
分組(重量) | ||||
頻數(shù)(個) |
已知從個草莓中隨機抽取一個,抽到重量在的草莓的概率為.
(1)求出,的值;
(2)用分層抽樣的方法從重量在和的草莓中共抽取個,再從這個草莓中任取個,求重量在和中各有個的概率.
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【題目】已知常數(shù)項為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,其中為常數(shù).
(1)當(dāng)時,求的最大值;
(2)若在區(qū)間(為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值為,求的值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知點,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),點是曲線上的任意一點,點為的中點,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求點的軌跡的極坐標(biāo)方程;
(2)已知直線:與曲線交于點,,射線逆時針旋轉(zhuǎn)交曲線于點,且,求.
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【題目】某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,且投資1萬元時的收益為萬元,投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比,且投資1萬元時的收益為0.5萬元,
(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系;
(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財投資,問:怎樣分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益為多少萬元?
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【題目】某工廠對一批新產(chǎn)品的長度(單位:)進行檢測,如下圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖,據(jù)此估計這批產(chǎn)品的中位數(shù)與平均數(shù)分別為( )
A.20,22.5B.22.5,25C.22.5,22.75D.22.75,22.75
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【題目】隨機抽取某校高一100名學(xué)生的期末考試英語成績(他們的英語成績都在80分140分之間),將他們的英語成績(單位:分)分成:,,,,六組,得到如圖所示的部分頻率分布直方圖,已知成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻數(shù)之和等于成績處于內(nèi)的頻數(shù),根據(jù)圖中的信息,回答下列問題:
(1)求頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和;
(2)求成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻率之差;
(3)用分層抽樣的方法從成績不低于120分的學(xué)生中選取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任選2人,求這2人中恰有一人成績低于130分的概率.
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【題目】已知橢圓: 過點,且兩個焦點的坐標(biāo)分別為, .
(1)求的方程;
(2)若, , 為上的三個不同的點, 為坐標(biāo)原點,且,求證:四邊形的面積為定值.
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【題目】平面上有n個點,任意三點不共線,任意兩點之間連一條線段,并將每條線段染為紅色與藍色之一,稱三邊顏色相同的三角形為“同色三角形”.記同色三角形的個數(shù)為S.
(1)若,對于所有可能的染法,求S的最小值;
(2)若(整數(shù)),對于所有可能的染法,求S的最小值.
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