Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*），且a₁=-1．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）是否存在一個(gè)實(shí)常數(shù)λ，使得數(shù)列{

1

an-λ

}為等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*），且a₁=-1，代入可求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）（Ⅱ）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)常數(shù)λ，使得數(shù)列{

1

an-λ

}為等差數(shù)列，則

2

a2-λ

=

1

a1-λ

+

1

a3-λ

，求出λ，再驗(yàn)證即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*），且a₁=-1，
∴a₂=0，a₃=

1

3

；
（Ⅱ）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)常數(shù)λ，使得數(shù)列{

1

an-λ

}為等差數(shù)列，則

2

a2-λ

=

1

a1-λ

+

1

a3-λ

，
∴

2

0-λ

=

1

-1-λ

+

1

1 3 -λ

，
∴λ=1，
∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=-

1

2

，
∵

1

a1-1

=-

1

2

，
∴存在一個(gè)實(shí)常數(shù)λ=1，使得數(shù)列{

1

an-λ

}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的判斷，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．