Question

已知P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的離心率為e，下列命題正確的是（　　）

• A、雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為a
• B、若|PF₁|=e|PF₂|，則e的最大值為

  3

• C、△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為b
• D、若∠F₁PF₂的外角平分線交x軸與M，則

  |MF1|

  |PF1|

  =e．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：A：雙曲線的焦點(diǎn)（c，0）到漸近線bx+ay=0的距離為

bc

b2+a2

=b；
B：若|PF₁|=e|PF₂|，則|PF₁|-|PF₂|=（e-1）|PF₂|=2a，2a≥（e-1）（c-a），可得1＜e≤

2

+1；
C：根據(jù)題意，利用切線長(zhǎng)定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉(zhuǎn)化為|HF₁|-|HF₂|=2a，從而求得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)；
D：利用三角形外角平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，可得結(jié)論．

解答： 解：雙曲線的焦點(diǎn)（c，0）到漸近線bx+ay=0的距離為

bc

b2+a2

=b，故A不正確；
若|PF₁|=e|PF₂|，則|PF₁|-|PF₂|=（e-1）|PF₂|=2a，
∴2a≥（e-1）（c-a），∴2≥（e-1）²，∴1＜e≤

2

+1，∴e的最大值為

2

+1，故B不正確；
如圖所示：F₁（-c，0）、F₂（c，0），設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)H，PF₁、PF₂分 與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為M、N，
∵由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，由圓的切線長(zhǎng)定理知，|PM|=|PN|，故|MF₁|-|NF₂ |=2a，
即|HF₁|-|HF₂|=2a，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，
故（x+c）-（c-x）=2a，∴x=a．故C不正確；
利用三角形外角平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，可知結(jié)論正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、切線長(zhǎng)定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．