【題目】如圖,已知是圓柱底面圓O的直徑,底面半徑,圓柱的表面積為,點(diǎn)在底面圓上,且直線與下底面所成的角的大小為.
(1)求的長(zhǎng);
(2)求二面角的大小的余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根據(jù)母線底面,即可找出與下底面所成的角的為,從而在直角三角形中,即可求出;
(2) 以為坐標(biāo)原點(diǎn),以、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出所需點(diǎn)的坐標(biāo),分別求出平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求得二面角的大小的余弦值.
(1)設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為,則根據(jù)已知條件可得,
,,解得,因?yàn)?/span>底面,所以是在底面上的射影,所以是直線與下底面所成的角,即
在直角三角形中,,,
(2)因?yàn)?/span>是底面直徑,,所以
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,
則、、、,
于是,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則即不妨令,即平面的一個(gè)法向量,
因?yàn)槠矫?/span>的一個(gè)法向量為,
設(shè)二面角的大小為,則,
由于二面角為銳角,所以二面角的大小的余弦值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣a|+|x﹣a+1|.
(1)當(dāng)a=4時(shí),求解不等式f(x)≥8;
(2)已知關(guān)于x的不等式f(x)在R上恒成立,求參數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程,曲線的參數(shù)方程;
(2)若分別為曲線,上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值,并求取得最小值時(shí),點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,以橢圓E的長(zhǎng)軸為直徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)為橢圓上不同的三點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,試問(wèn):的面積是否為定值?若是,請(qǐng)求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖(甲)所示;依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造,得到水位與災(zāi)害等級(jí)的頻率分布條形圖如圖(乙)所示.
(1)試估計(jì)該河流在8月份水位的眾數(shù);
(2)我們知道若該河流8月份的水位小于40米的頻率為f,該河流8月份的水位小于40米的情況下發(fā)生1級(jí)災(zāi)害的頻率為g,則該河流8月份的水位小于40且發(fā)生1級(jí)災(zāi)害的頻率為,其他情況類(lèi)似.據(jù)此,試分別估計(jì)該河流在8月份發(fā)生12級(jí)災(zāi)害及不發(fā)生災(zāi)害的頻率,,;
(3)該河流域某企業(yè),在8月份,若沒(méi)受12級(jí)災(zāi)害影響,利潤(rùn)為500萬(wàn)元;若受1級(jí)災(zāi)害影響,則虧損100萬(wàn)元;若受2級(jí)災(zāi)害影響則虧損1000萬(wàn)元.現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對(duì)方案:
方案 | 防控等級(jí) | 費(fèi)用(單位:萬(wàn)元) |
方案一 | 無(wú)措施 | 0 |
方案二 | 防控1級(jí)災(zāi)害 | 40 |
方案三 | 防控2級(jí)災(zāi)害 | 100 |
試問(wèn),如僅從利潤(rùn)考慮,該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列,,…,的項(xiàng),其中…,,,其前項(xiàng)和為,記除以3余數(shù)為1的數(shù)列,,…,的個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為,.
(1)求的值;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并化簡(jiǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的極值;
(2)設(shè),對(duì)任意都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a為常數(shù),函數(shù)f(x)=x(lnx﹣ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1<x2).
(1)求a的取值范圍;
(2)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))。在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,圓的極坐標(biāo)方程為。
(1)求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓與直線交于,兩點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求。
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