Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線$\sqrt{7}$x-$\sqrt{5}$y+12=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A（-4，0），過點(diǎn)R（3，0）作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，連接AP，AQ分別交直線x=$\frac{16}{3}$于M，N兩點(diǎn)，若直線MR、NR的斜率分別為k₁、k₂，試問：k₁k₂是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和直線與圓相切的條件，解方程可得a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線PQ的方程為x=my+3，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和三點(diǎn)共線斜率相等，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡整理，即可得到定值．

解答 解：（1）由題意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線$\sqrt{7}$x-$\sqrt{5}$y+12=0相切，可得
d=$\frac{|0-0+12|}{\sqrt{7+5}}$=b，解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=2，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線PQ的方程為x=my+3，代入橢圓方程3x²+4y²=48，
得（4+3m²）y²+18my-21=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{18m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{21}{4+3{m}^{2}}$，
由A，P，M三點(diǎn)共線可知，$\frac{{y}_{M}}{\frac{16}{3}+4}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+4}$，即y_M=$\frac{28}{3}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+4}$；
同理可得y_N=$\frac{28}{3}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+4}$．
所以k₁k₂=$\frac{{y}_{M}}{\frac{16}{3}-3}$•$\frac{{y}_{N}}{\frac{16}{3}-3}$=$\frac{9{y}_{M}{y}_{N}}{49}$=$\frac{16{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+4）（{x}_{2}+4）}$．
因?yàn)椋▁₁+4）（x₂+4）=（my₁+7）（my₂+7=m²y₁y₂+7m（y₁+y₂）+49，
所以k₁k₂=$\frac{16{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+7m（{y}_{1}+{y}_{2}）+49}$
=$\frac{16×（-21）}{-21{m}^{2}-18×7{m}^{2}+49（4+3{m}^{2}）}$=-$\frac{12}{7}$．
即k₁k₂為定值-$\frac{12}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式，考查兩直線的斜率之積為定值的證明，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．