Question

若定義在區(qū)間[-2015，2015]上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意的x₁，x₂∈[-2015，2015]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2014，且x＞0時(shí)，有f（x）＞2014，f（x）的最大值、最小值分別為M，N，則M+N的值為（　　）

• A、2014
• B、2015
• C、4028
• D、4030

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)抽象函數(shù)的表達(dá)式，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵對于任意的x₁，x₂∈[-2015，2015]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2014，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=2014，
再令x₁+x₂=0，將f（0）=2014代入可得f（x）+f（-x）=4028．
設(shè)x₁＜x₂，x₁，x₂∈[-2015，2015]，
則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-2014，
∴f（x₂）+f（-x₁）-2014＞2014．
又∵f（-x₁）=4028-f（x₁），
∴可得f（x₂）＞f（x₁），
即函數(shù)f（x）是遞增的，
∴f（x）_max=f（2015），f（x）_min=f（-2015）．
又∵f（2015）+f（-2015）=4028，
∴M+N的值為4028．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用賦值法，證明函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．