Question

已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能是（ ）

A．f（x）=x²-2ln|x|
B．f（x）=x²-ln|x|
C．f（x）=|x|-2ln|x|
D．f（x）=|x|-ln|x|

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．再根據(jù)函數(shù)在（ 0，+∞）上的單調(diào)性，判斷各個(gè)選項(xiàng)的正確性，從而得到答案．
解答：解：由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
當(dāng) x＞0 時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
對(duì)選項(xiàng)A：f（x）=x² -2ln|x|=x² -2lnx，f′（x）=2x-2•，在（0，1）上小于零恒成立，
在（1，+∞）上大于零恒成立，故函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上是增函數(shù)，符合要求，故正確．
對(duì)選項(xiàng)B：f（x）=x²-ln|x|=x² -lnx，f′（x）=2x-在（0，1）上可以為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)，
故函數(shù)在（0，1）上沒(méi)有單調(diào)性，不符合要求，故不正確．
對(duì)于現(xiàn)象C：f（x）=|x|-2ln|x|=x-2lnx，f′（x）=1-，在（1，+∞）上可以為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)，
故函數(shù)在（1，+∞）上沒(méi)有單調(diào)性，不符合要求，故不正確．
對(duì)選項(xiàng)D：f（x））=|x|-ln|x|=x-lnx，f′（x）=1-，在（0，1）上小于零恒成立，
在（1，+∞）上大于零恒成立，故函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上是增函數(shù)，符合要求．
但當(dāng)x＞1時(shí)，它的增長(zhǎng)速度應(yīng)小于函數(shù)y=x的增長(zhǎng)速度，這與所給的圖象不相符合，故D不正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了識(shí)圖能力，以及函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題．