已知A（1，0），P為圓F：（x+1）2+y2=16上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線交半徑FP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線l與點(diǎn)Q的軌跡交于不同的兩點(diǎn)M，N，使（
DM
+
DN
)•
MN
=0，若存在，求出直線l的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：向量與圓錐曲線
分析：（1）直接由題意可得|QF|+|QA|=|FP|=4＞|FA|=2，符合橢圓定義，且得到長(zhǎng)半軸和半焦距，再由b2=a2-c2求得b2，則點(diǎn)Q的軌跡方程可求；
（2）把條件（
DM
+
DN
)•
MN
=0轉(zhuǎn)化為|
DM
|=|
DN
|，假設(shè)存在符合條件的直線，設(shè)出直線方程y=kx+m，和（1）中求得的軌跡方程聯(lián)立，由判別式大于0得到4k2+3＞m2，再由|
DM
|=|
DN
|得到m=-3-4k2，兩式聯(lián)立得到矛盾式子，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，即不存在不平行于x軸的直線l與點(diǎn)Q的軌跡交于不同的兩點(diǎn)M，N，使（
DM
+
DN
)•
MN
=0．
解答： 解：（1）依題意知：|QF|+|QA|=|FP|=4＞|FA|=2，
∴點(diǎn)Q的軌跡是以F，A為焦點(diǎn)的橢圓，
a=2，c=1，b2=a2-c2=3，
∴所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1=1；
（2）由（
DM
+
DN
）•
MN
=0，
得（
DM
+
DN
）⊥
MN
，則|
DM
|=|
DN
|，
假設(shè)存在符合條件的直線，則該直線的斜率一定存在，
設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0），
由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
由△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，得4k2+3＞m2．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點(diǎn)為Q（x0，y0），
則x0=
x1+x2
2
=-
4km
3+4k2
，y0=kx0+m=
3m
3+4k2
．
又∵|
DM
|=|
DN
|，
∴
y0-1
x0
=-
1
k
，
即
3m
3+4k2
-1
4km
3+4k2
=-
1
k
，
解得：m=-3-4k2．
代入4k2+3＞m2，得4k2+3＞（3+4k2）2，
即4k2＜-2，該式不成立．
∴假設(shè)錯(cuò)誤．故滿足條件的直線不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，考查了由向量數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用反證法思想解題，屬中高檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知關(guān)于x的不等式ax2+2x+c＜0的解集為{x|-3＜x＜2}，
（1）求a，c的值；
（2）解關(guān)于x的不等式：
a
2
x2+2ax+c＞0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a2=4，a3+a4=24．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{
bn
an
}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2lnx
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）；
（3）設(shè)（2）中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s=g（t），證明：當(dāng)t＞e2時(shí)，有0＜
lng(t)
lnt
＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，a1=1且a1，a2，a5成等比數(shù)列．在數(shù)列{bn}中，b1=3，bn+1=2bn-1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{an•（bn-1）}的前n項(xiàng)和為Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè)，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用為x億元（x∈[a，b]），其中用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用為y億元．該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時(shí)具備下列條件：
①每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用增加而增加；
②每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用不得低于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的15%，但不得高于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的22%．
（1）若a=2，b=2.5，請(qǐng)你分析能否采用函數(shù)模型y=
1
100
（x3+4x+16）作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案；
（2）若a，b取正整數(shù)，并用函數(shù)模型y=
1
100
（x3+4x+16）作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案，請(qǐng)你求出a，b的取值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}中各項(xiàng)為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)任意n∈N*，總有an，Sn，an2成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在最大正整數(shù)p，使得命題“?n∈N*，ln（p+an）＜2an”是真命題？若存在，求出p；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一環(huán)保部門對(duì)某處的環(huán)境狀況進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量，據(jù)測(cè)定，該處的污染指數(shù)等于附近污染源的污染強(qiáng)度與該處到污染源的距離之比．已知相距30km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強(qiáng)度分別為1和4，它們連線上任意一點(diǎn)處的污染指數(shù)等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和．現(xiàn)擬在它們之間的連線上建一個(gè)公園，為使兩化工廠對(duì)其污染指數(shù)最小，則該公園應(yīng)建在距A化工廠
 
公里處．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的結(jié)果是
 
．

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