Question

某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費用為x億元（x∈[a，b]），其中用于風景區(qū)改造費用為y億元．該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時具備下列條件：
①每年用于風景區(qū)改造費用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費用增加而增加；
②每年用于風景區(qū)改造費用不得低于改造生態(tài)環(huán)境總費用的15%，但不得高于改造生態(tài)環(huán)境總費用的22%．
（1）若a=2，b=2.5，請你分析能否采用函數(shù)模型y=

1

100

（x³+4x+16）作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案；
（2）若a，b取正整數(shù)，并用函數(shù)模型y=

1

100

（x³+4x+16）作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案，請你求出a，b的取值．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)模型的選擇與應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，驗證滿足條件①；設g（x）=

y

x

=

1

100

（x²+4+

16

x

），確定 函數(shù)的單調(diào)性，可驗證②；
（2）依題意，當x∈[a，b]，a、b∈N^*時，15%≤g（x）≤22%恒成立； 再求15≤x²+4+

16

x

≤22的正整數(shù)解即可．

解答： 解：（1）∵y′=

1

100

（3x²+4）＞0，∴函數(shù)y=

1

100

（x³+4x+16）是增函數(shù)，滿足條件①…（2分）
設g（x）=

y

x

=

1

100

（x²+4+

16

x

），則g′（x）=

(x-2)(x2+2x+4)

50x2

令g′（x）=0，得x=2
當x＜2時，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)；
當x＞2時，g′（x）＞0，g（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)                …（4分）
又a=2，b=2.5，即x∈[2，2.5]，g（x）在[2，2.5]上是增函數(shù)，
∴當x=2時，g（x）有最小值0.16=16%＞15%；
當x=2.5時，g（x）有最大值0.1665=16.65%＜22%，
∴能采用函數(shù)模型y=

1

100

（x³+4x+16）作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案   …（6分）
（2）由（1）知g（x）=

y

x

=

1

100

（x²+4+

16

x

），
依題意，當x∈[a，b]，a、b∈N^*時，15%≤g（x）≤22%恒成立；  …（8分）
下面求15≤x²+4+

16

x

≤22的正整數(shù)解．令h（x）=x²+4+

16

x

，
由（1）知x∈N^*，h（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)  …（10分）
又由（1）知，在x＞0時，g（x）_min=g（2），且g（2）=16%∈[15%，22%]，
∴x=2符合條件，經(jīng)枚舉g（1），g（3）∈[15%，22%]，而g（4）∉[15%，22%]，
可得x=1或x=2或x=3，
由g（x）單調(diào)性知a=1，b=2或a=1，b=3或a=2，b=3均合題意    …（12分）

點評：本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確求導是關鍵．