Question

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為, 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率;

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在橢圓上,且在軸的右側(cè),線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn),求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓的方程為,離心率為；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為可得，解出即可得橢圓方程即離心率；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直平分線可可得直線的斜率為，利用直線的方程可得的縱坐標(biāo)，又，得，可得，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,所以

所以,所以,,而,所以

所以橢圓的方程為,離心率為.

（Ⅱ）設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,且在軸的右側(cè), 所以,

因?yàn)?/span>,所以的中點(diǎn),，所以線段的垂直平分線的斜率,且過(guò)點(diǎn)，所以線段的垂直平分線的方程為

令,則,而

所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.