Question

函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R）（　�。�

• A、是奇函數(shù)，且在（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）上是減函數(shù)
• B、是奇函數(shù)，且在（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）上是增函數(shù)
• C、是偶函數(shù)，且在（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）上是減函數(shù)
• D、是偶函數(shù)，且在（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）上是增函數(shù)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（-x）=-f（x），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；f′（x）=1+cosx≥0所以函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，在（-

π

2

，

π

2

）上也是增函數(shù)．

解答： 解：f（-x）=-x+sin（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=1+cosx
∵-1≤cosx≤1
∴f′（x）=1+cosx≥0
∴函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)
所以函數(shù)f（x）=x+sinx在（-

π

2

，

π

2

）上是增函數(shù)
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于基礎(chǔ)題．