Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n+1=

3an-2

an

，n∈N*．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

an-1

an-2

}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

1

an-2

-n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出數(shù)列{

an-1

an-2

}是以2為首項2為公比的等比數(shù)列，由此能求出an=

2n+1-1

2n-1

．
（Ⅱ）由bn=

1

an-2

-n=2n-(n+1)，能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：

an+1-1

an+1-2

•

an-2

an-1

=

3an-2 an -1

3an-2 an -2

•

an-2

an-1

=

2an-2

an-2

•

an-2

an-1

=2，
又∵

a1-1

a1-2

=2，
∴數(shù)列{

an-1

an-2

}是以2為首項2為公比的等比數(shù)列，
∴

an-1

an-2

=2n，
∴an=

2n+1-1

2n-1

．
（Ⅱ）∵bn=

1

an-2

-n=2n-(n+1)，
∴Sn=2n+1-2-

n2+3n

2

（n∈N^*）．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．