Question

下列命題：
①設a，b∈R，a²+2b²=6，則a+b的最小值是-3；
②已知x³+sinx-2a=0，4y³+sinycosy+a=0，則cos（x+2y）=0；
③若（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0，則x，y，z成等差數(shù)列；
④已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=

1

3

，3f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），（x，y∈R）則f（2013）=3；
其中正確的命題是

 

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題

分析：①利用參數(shù)法，設a=

6

cosθ，b=

3

sinθ，求出a+b的最小值即可；
②設f（u）=u³+sinu，根據(jù)題意得f（x）=2a，f（2y）=-2a，根據(jù)函數(shù)的奇偶性得f（-x）=-f（2y）=f（-2y），推斷出x+2y=0，從而得cos（x+2y）；
③化簡（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0，得出x+z=2y，即x，y，z成等差數(shù)列；
④由題意，求出函數(shù)f（x）是周期T=6的函數(shù)，化簡f（2013）=f（3），求出f（3）的值．

解答： 解：對于①，∵a，b∈R，a²+2b²=6，
∴

a2

6

+

b2

3

=1，設a=

6

cosθ，b=

3

sinθ，θ∈（0，2π），
∴a+b=

6

cosθ+

3

sinθ=3sin（θ+α），其中tanα=

6

3

；
當sin（θ+α）=-1時，a+b取得最小值-3，∴①正確；
對于②，設f（u）=u³+sinu，
由x³+sinx-2a=0，得f（x）=2a，
由4y³+sinycosy+a=0，即

1

2

（2y）³+

1

2

sin2y+a=0，得f（2y）=-2a，
∵f（u）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上是單調(diào)奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（2y）=f（-2y），
∴x=-2y，即x+2y=0，
∴cos（x+2y）=1，②錯誤；
對于③，當（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0時，z²-2zx+x²-4（xy-xz-y²+yz）=0，
即z²+x²+4y²+2zx-4xy-4yz=0，∴（x+z-2y）²=0，∴x+z=2y，
∴x，y，z成等差數(shù)列，∴③正確；
對于④，∵f（1）=

1

3

，令y=1，得3f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1），
即f（x）=f（x+1）+f（x-1），∴f（x+1）=f（x）-f（x-1）；…①
用x+1替換x，得f（x+2）=f（x+1）-f（x）；…②
①+②得，f（x+2）=-f（x-1），
再用x+1替換x，得f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=-[-f（x）]=f（x），
函數(shù)f（x）是周期T=6的周期函數(shù)，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3），
∵3f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），
∴令y=0，得3f（x）f（0）=2f（x），得f（0）=

2

3

，
在3f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）中，令x=y=1，得3f²（1）=f（2）+f（0），
∴3×(

1

3

)2=f（2）+

2

3

，解得f（2）=-

1

3

；
同理，在3f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）中，
令x=2，y=1，解得f（3）=-

2

3

，
∴f（2013）=f（3）=-

2

3

，∴④錯誤；
綜上，正確的命題是 ①③．
故答案為：①③．

點評：本題考查了參數(shù)方程的應用問題，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性問題，也考查了等差數(shù)列的應用問題，函數(shù)的周期性問題，是較難的題目．