Question

【題目】在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c
（1）若 ，求A的值；
（2）若 ，且△ABC的面積 ，求sinC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵cos（ ﹣A）=2cosA，即 cosA+ sinA=2cosA，

∴ sinA=3cosA，即tanA= ，

∵0＜A＜π，∴A=

（2）解：∵cosA= ，且A為三角形內(nèi)角，

∴sinA= = ，

∵S= c2= bcsinA= bc，

∴b=3c，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，

∴a=2 c，

由正弦定理得 = ，即 = ，得到sinC= = = ；

法2：∵cosA= ，且A為三角形內(nèi)角，

∴sinA= = ，

∵S= c2= bcsinA= bc，

∴b=3c，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，

∴a=2 c，

∵a2+c2=8c2+c2=9c2=b2，

∴△ABC是Rt△，角B為直角，

∴sinC= = ．

【解析】（1）已知等式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后求出tanA的值，即可確定出A的度數(shù)；（2）法1：由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b=3c及cosA的值代入得到a=2 c，最后利用正弦定理即可求出sinC的值；法2：由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b=3c及cosA的值代入得到a=2 c，最后利用余弦定理及銳角三角函數(shù)定義即可求出sinC的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握正弦定理:，以及對(duì)余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．