Question

如圖，將∠B=

π

3

，邊長為1的菱形ABCD沿對角線AC折成大小等于θ的二面角B-AC-D，若θ∈[

π

3

，

2π

3

]，M、N分別為AC、BD的中點，則下面的四種說法：
①AC⊥MN；
②DM與平面ABC所成的角是θ；
③線段MN的最大值是

3

4

，最小值是

3

4

；
④當θ=

π

2

時，BC與AD所成的角等于

π

2

．
其中正確的說法有

 

（填上所有正確說法的序號）．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離

分析：①連接BM，DM．則BM⊥AC，DM⊥AC，可得AC⊥平面BMD，即可得出AC⊥BD，即可判斷出正誤；
②由①可得：DM與平面ABC所成的角是θ或π-θ，即可判斷出正誤；
③BM=

3

2

，當θ=

2π

3

時，MN取得最小值，MN=BMcos

π

3

；當θ=

π

3

時，MN取得最大值，MN=BMcos

π

6

，即可判斷出正誤；
④分別取AB，CD，CM的中點E，F(xiàn)，P，連接EM，MF，EF，EP，F(xiàn)P．則∠EMF或其補角是BC與AD所成的角，通過計算即可判斷出正誤．

解答： 解：如圖所示．
①連接BM，DM．則BM⊥AC，DM⊥AC，BM∩DM=M，∴AC⊥平面BMD，∴AC⊥BD，因此正確；
②由①可得：DM與平面ABC所成的角是θ或π-θ，因此不正確；
③BM=

3

2

，當θ=

2π

3

時，MN取得最小值，MN=BMcos

π

3

=

3

4

，當θ=

π

3

時，MN取得最大值，MN=BMcos

π

6

=

3

4

，因此正確；
④分別取AB，CD，CM的中點E，F(xiàn)，P，連接EM，MF，EF，EP，F(xiàn)P．則∠EMF或其補角是BC與AD所成的角，∵FP=

1

2

DM=

3

4

，
EP²=(

1

2

)2+(

1

4

)2-2×

1

2

×

1

4

×cos120°=

7

16

，EP=

7

4

．∵FP⊥平面ABC，∴FP⊥EP，∴EF²=EP²+FP²=

10

16

，EM²+FM²=(

1

2

)2×2=

1

2

，∴EF²≠EM²+FM²，∴∠EMF≠

π

2

，因此不正確．
故答案為：①③．

點評：本題考查了二面角的定義及其性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、勾股定理、余弦定理、空間角、菱形的性質(zhì)，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．