Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{x}$+klnx，k＜$\frac{1}{e}$，求函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)最值和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{kx-1}{{x}^{2}}$=$\frac{k（x-\frac{1}{k}）}{{x}^{2}}$，
若k≤0，則f′（x）≤0，即函數(shù)在[$\frac{1}{e}$，e]單調(diào)遞減，則最大值為f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1-\frac{1}{e}}{\frac{1}{e}}$+kln$\frac{1}{e}$=e-1-klne，
最小值為f（e）=$\frac{1-e}{e}$+k=$\frac{1}{e}$+k-1．
若k＞0，則由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{k}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{k}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=$\frac{1}{k}$時(shí)，函數(shù)取得極小值．
∵k＜$\frac{1}{e}$，∴$\frac{1}{k}$＞e，即函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]單調(diào)遞減，則最大值為f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1-\frac{1}{e}}{\frac{1}{e}}$+kln$\frac{1}{e}$=e-1-klne，
最小值為f（e）=$\frac{1-e}{e}$+k=$\frac{1}{e}$+k-1．
綜上函數(shù)f（x）的最大值為f（$\frac{1}{e}$）=e-1-klne，最小值為f（e）=$\frac{1}{e}$+k-1．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．