Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.

（1）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，證明：為定值；

（2）若是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（都不與重合），直線的斜率互為相反數(shù)，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)的距離，點(diǎn)到直線的距離，再根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上；（2）設(shè)直線PA的方程為y﹣n＝k（x﹣m），則直線PB的方程為y﹣n＝﹣k（x﹣m），分別與橢圓聯(lián)立，求出點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式化簡整理即可求出．

（1）橢圓C：1的左，右焦點(diǎn)為F1，F2，

則F2（1，0），

∵P（m，n）在橢圓C上，

∴1，

∴d＝4﹣m，|PF2||m﹣2||4﹣m|，

∴2．

（2）0＜m＜2，則n＞0，則直線PA，PB的斜率一定存在，設(shè)直線PA的方程為y﹣n＝k（x﹣m），則直線PB的方程為y﹣n＝﹣k（x﹣m），

由，消y可得（3+4k2）﹣8k（n﹣km）x+4（n﹣km）2﹣12＝0，

∴mxA，

即xA，

同理可得xB，

∴yA﹣yB＝k（xA﹣m）+n+k（xB﹣m）﹣n＝k（xA+xB﹣2m）＝k（2m），

xA﹣xB，

∵1，

∴﹣3m2＝4n2﹣12，

∴kABm，

當(dāng)m＝1，n＞0時(shí)，kAB．