Question

【題目】如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側棱，是線段的延長線上一點，平面分別與相交于.

（1）求證：平面；

（2）求當為何值時，平面平面.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)根據線面平行的性質證明即可.

(2)分別取線段的中點,再根據題意分析平面時的點,根據三角形的全等與相似的關系求得的長度即可.或者建立空間直角坐標系求解.

（1）因為,在平面外,則平面.

因為平面平面,

則,從而.

因為在平面外,所以平面.

（2）解法一：分別取線段的中點,則,

所以四點共面.

因為,則,所以.

因為,則.

若,則平面,從而平面平面.

此時,,則.

因為是邊長為2的正三角形,則,

又,則,

從而,

所以當時,平面平面.

（2）解法二：如圖,分別取的中點,以為原點,

直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系

由已知,,則點,

從而

設平面的法向量為,

由,得

取,則

設,則點,從而

設平面的法向量,

由,得

取,則.

因為平面平面,則,

得,,從而

所以當時,平面平面.