已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x),存在實數(shù)x0使得對任意實數(shù)x1,x2,總有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立.
(1)求x0的值;
(2)若f(x0)=1,且對任意的正整數(shù)n.有an=
1
f(n)
bn=f(
1
2n
)+1
,記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,比較
4
3
Sn
與Tn的大小關(guān)系,并給出證明.
(1)令x1=x2=0,得f(0)=f(x0)+2f(0),∴f(x0)=-f(0).①
令x1=1,x2=0,得f(x0)=f(x0)+f(1)+f(0),∴f(1)=-f(0).②
由①②得   f(x0)=f(1).∴f(x)為單調(diào)函數(shù),
∴x0=1.
(2)由(1)得f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+f(1)=f(x1)+f(x2)+1.
∵f(n+1)=f(n)+f(1)+1=f(n)+2,f(1)=1,∴f(n)=2n-1.(n∈Z*
an=
1
2n-1

又∵f(1)=f(
1
2
+
1
2
)=f(
1
2
)+f(
1
2
)+f(1)

f(
1
2
)=0,b1=f(
1
2
)+1

f(
1
2n
)=f(
1
2n+1
+
1
2n+1
)=f(
1
2n+1
)+f(
1
2n+1
)+f(1)=2f(
1
2n+1
)+1

2bn+1=2f(
1
2n+1
)+2=f(
1
2n
)+1=bn

bn=(
1
2
)n-1

Sn=
1
1×3
+
1
3×5
+…+
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
1
-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)

=
1
2
(1-
1
2n+1
)

Tn=(
1
2
)0(
1
2
)1+(
1
2
)1(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-1(
1
2
)n=
1
2
+(
1
2
)3+…+(
1
2
)2n-1

=
1
2
[1-(
1
4
)
n
]
1-
1
4
=
2
3
[1-(
1
4
)n]

4
3
Sn-Tn=
2
3
(1-
1
2n+1
)-
2
3
[1-(
1
4
)n]=
2
3
[(
1
4
)n-
1
2n+1
]

∵4n=(3+1)n=Cnn3n+Cnn-13n-1+…+Cn13+Cn0≥3n+1>2n+1,
4
3
Sn-Tn=
3
2
(
1
4n
-
1
2n+1
)<0

4
3
SnTn
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

15、已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:存在實數(shù)x0,使得對于任意實數(shù)x1,x2,總有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立,則(i)f(1)+f(0)=
0
(ii)x0的值為
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x),存在實數(shù)x0,使得對于任意實數(shù)x1,x2總有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立
(1)求x0的值;
(2)若f(x0)=1,且對任意正整數(shù)n,有an=
1
f(n)
,bn=f(
1
2n
)+1
,記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,求Sn和Tn
(3)若不等式an+1+an+2+…+a2n
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]
對任意不小于2的正整數(shù)n都成立,求x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)y=f(x),當(dāng)x<0時,f(x)>1,且對任意的實數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),
(1)求f(0),并寫出適合條件的函數(shù)f(x)的一個解析式;
(2)數(shù)列{an}滿足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)
,
①求通項公式an的表達(dá)式;
②令bn=(
1
2
)an,Sn=b1+b2+…+bn,Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
,試比較Sn
4
3
Tn
的大小,并加以證明;
③當(dāng)a>1時,不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
12
35
(log a+1x-log ax+1)
對于不小于2的正整數(shù)n恒成立,求x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•黃岡模擬)已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x),存在實數(shù)x0,使得對于任意實數(shù)x1,x2,總有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立.
(1)求x0的值;
(2)若f(x0)=1,且對于任意正整數(shù)n,有an=
1
f(n)
,bn=f(
1
2n
)+1
,記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,比較
4
3
Sn
與Tn的大小關(guān)系,并給出證明;
(3)在(2)的條件下,若不等式an+1+an+2+…+a2n
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]
對任意不小于2的正整數(shù)n都成立,求x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州三模)已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x),存在實數(shù)x0使得對任意實數(shù)x1,x2,總有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立.
(1)求x0的值;
(2)若f(x0)=1,且對任意的正整數(shù)n.有an=
1
f(n)
,bn=f(
1
2n
)+1
,記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,比較
4
3
Sn
與Tn的大小關(guān)系,并給出證明.

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