Question

(1)求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2,－)的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)  方程；
(2)對(duì)(1)中的橢圓C,設(shè)斜率為1的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M,證明:當(dāng)直線l平行移動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)M在一條過(guò)原點(diǎn)的定直線上；
(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì),用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡(jiǎn)要寫出作圖步驟,并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.

Answer 1

(1) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

(1)由題中條件,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1,a＞b＞0,
∵右焦點(diǎn)為(2,0),∴a²=b²+4,
即橢圓的方程為+=1.
∵點(diǎn)(－2,－)在橢圓上,∴+=1.
解得b²=4或b²=－2(舍),
由此得a²=8,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,與橢圓C的交點(diǎn)為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),
則由得12x²+16mx+8m²－32=0,
即3x²+4mx+2m²－8=0.
∵Δ＞0,∴m²＜12,即－2＜m＜2.
則x₁+x₂=－,y₁+y₂=x₁+m+x₂+m=m,
∴AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－m,).
∴線段AB的中點(diǎn)M在過(guò)原點(diǎn)的直線x+2y=0上.
(3)如下圖,作兩條平行直線分別交橢圓于點(diǎn)A、B和點(diǎn)C、D,并分別取AB、CD的中點(diǎn)M、N,連結(jié)直線MN；又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于點(diǎn)A₁、B₁和點(diǎn)C₁、D₁,并分別取A₁B₁、C₁D₁的中點(diǎn)M₁、N₁,連結(jié)直線M₁N₁,那么直線MN和M₁N₁的交點(diǎn)O即為橢圓中心 .