【題目】已知函數(shù),設(shè).

(Ⅰ)若處取得極值,,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(Ⅱ)若時函數(shù)有兩個不同的零點、.

的取值范圍;②求證:.

【答案】1)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)增;在區(qū)間(1,+)上單調(diào)減.2,0詳見解析

【解析】

試題(1)先確定參數(shù):由可得a=b-3. 由函數(shù)極值定義知所以a=" -2,b=1" .再根據(jù)導函數(shù)求單調(diào)區(qū)間(2時,,原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有兩個交點,先研究函數(shù)圖像,再確定b的取值范圍是(,0.

,由題意得,所以,因此須證,構(gòu)造函數(shù),即可證明

試題解析:(1)因為,所以,

可得a=b-3.

又因為處取得極值,

所以,

所以a=" -2,b=1" .

所以,其定義域為(0+

,

0,1)時,,當1,+,

所以函數(shù)hx)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)增;在區(qū)間(1,+)上單調(diào)減.

2)當時,,其定義域為(0+.

,記,則,

所以單調(diào)減,在單調(diào)增,

所以當取得最小值.

,所以,而,

所以b的取值范圍是(,0.

由題意得,

所以,

所以,不妨設(shè)x1<x2,

要證, 只需要證.

即證,設(shè),

,

所以,

所以函數(shù)在(1+)上單調(diào)增,而

所以,

所以.

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