Question

【題目】已知函數(shù)f（x）（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T；
（2）求f（x）的最大值，并指出取得最大值時(shí)x取值集合；
（3）當(dāng)x∈[ ， ]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2

化簡(jiǎn)可得：f（x）=1+2sinxcosx+1+cos2x﹣2=sin2x+cos2x= sin（2x+ ）

函數(shù)f（x）的最小正周期T=

（2）解：令2x+ = ，k∈Z，

得：x= ．

∴當(dāng)x= 時(shí)，f（x）取得最大值為 ．

∴取得最大值時(shí)x取值集合為{x|x= ，k∈Z}

（3）解：當(dāng)x∈[ ， ]時(shí)，

可得：2x+ ∈[ ， ]，

∴﹣1≤sin（2x+ ）≤

∴ ≤ sin（2x+ ）≤1．

故得當(dāng)x∈[ ， ]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇 ，1]

【解析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得f（x）的最大值，以及取得最大值時(shí)x取值集合；（3）當(dāng)x∈[ ， ]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．