Question

如圖，焦點在x軸的橢圓C：

x2

8

+

y2

b2

=1（b＞0），點G（2，0），點P在橢圓上，且PG⊥x軸，連接OP交直線x=4于點M，連接MG交橢圓于A、B．
（Ⅰ）若G為橢圓右焦點，求|OM|；
（Ⅱ）記直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，求k₁+k₂的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）不妨設(shè)P在x軸上方，橢圓C的方程為：

x2

8

+

y2

b2

=1（b＞0），可得點P的坐標(biāo)為(2，

2 b

2

)，根據(jù)題意可得P為線段OM的中點，可得M的坐標(biāo)為(4，

2

b)．G為橢圓右焦點，可得b²=8-4，即可得出|OM|=

16+2b2

．
（Ⅱ）由于直線AB過點M、G，可得k_AB=

2 b

2

，可得直線AB的方程為y=

2 b

2

(x-2)，代入橢圓方程并整理得：5x²-16x+8=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式即可得出．

解答： 解：（I）不妨設(shè)P在x軸上方，
由橢圓C的方程為：

x2

8

+

y2

b2

=1（b＞0），令x=2，則y=

2

2

b，
∴點P的坐標(biāo)為(2，

2 b

2

)，
根據(jù)題意可得P為線段OM的中點，∴M的坐標(biāo)為(4，

2

b)．
若G為橢圓右焦點，則b²=8-4=4，
∴|OM|=

16+2b2

=2

6

．
（Ⅱ）∵直線AB過點M、G，
∴k_AB=

2 b

2

，
則直線AB的方程為y=

2 b

2

(x-2)，
代入橢圓方程并整理得：5x²-16x+8=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=

16

5

，x₁x₂=

8

5

．
∴k₁+k₂=

y1- 2 2 b

x1-2

+

y2- 2 2 b

x2-2

=

y1

x1-2

+

y2

x2-2

-

2

2

b(

1

x1-2

+

1

x2-2

)．
∵y1=

2 b

2

(x1-2)，y2=

2 b

2

(x2-2)．
∴k₁+k₂=

2

b-

2

2

b•

x1+x2-4

x1x2-2(x1+x2)+4

=

2

2

b．
∵0＜b²＜8，b＞0，
∴0＜b＜2

2

，
∴k₁+k₂的取值范圍是（0，2）．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、中點坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．