Question

已知f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos（2x₀+

π

6

）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡得f（x）=2sin（2x+

π

6

），求出函數(shù)的最小正周期以及最大、最小值；
（2）由（1）知，f(x0)=2sin(2x0+

π

6

)，求出sin（2x₀+

π

6

）的值，考慮x₀的取值范圍，求出cos（2x₀+

π

6

）的值．

解答： 解：（1）由題知，f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
∴函數(shù)的最小正周期為T=π；
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴f(x)max=f(

π

6

)=2 ，f(x)min=f(

π

2

)=-1；
（2）由（1）知，f(x0)=2sin(2x0+

π

6

)，
∴f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

）=

6

5

，
∴sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，
∵x₀∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]；
∴cos（2x₀+

π

6

）＜0，
∴cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的求值問題以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)細心作答，以免出錯，是基礎(chǔ)題．