【題目】如圖,已知四棱錐的側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD= CD=2,點M在側(cè)棱上.
(1)求證:BC⊥平面BDP;
(2)若側(cè)棱PC與底面ABCD所成角的正切值為 ,點M為側(cè)棱PC的中點,求異面直線BM與PA所成角的余弦值.
【答案】
(1)證明:由已知可算得 ,∴BD2+BC2=16=DC2,
故BD⊥BC,
又PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,故PD⊥BC,
又BD∩PD=D,所以BC⊥平面BDP
(2)解:如圖,取PD中點為N,并連結(jié)AN,MN,BM∥AN,
則∠PAN即異面直線BM與PA所成角;
又PA⊥底面ABCD,∴∠PCD即為PC與底面ABCD所成角,
即 ,∴ ,即 ,
又 , ,則在△PAN中, = ,
即異面直線BM與PA所成角的余弦值為
【解析】(1)證明BD⊥BC,PD⊥BC,即可證明BC⊥平面BDP;(2)取PD中點為N,并連結(jié)AN,MN,則∠PAN即異面直線BM與PA所成角,在△PAN中,利用余弦定理,即可求出異面直線BM與PA所成角的余弦值.
【考點精析】通過靈活運用異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的判定,掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系;一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在與時都取得極值;
(1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對,不等式恒成立,求的取值范圍
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【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C,AC1與A1C相交于點D.
(1)求證:BD⊥A1C;
(2)若E在棱BC1上,且滿足DE∥面ABC,求三棱錐E﹣ACC1的體積.
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【題目】下列函數(shù)在區(qū)間(0,π)上為減函數(shù)的是( )
A.y=(x﹣3)2
B.y=sinx
C.y=cosx
D.y=tanx
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【題目】將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的 (縱坐標不變),再將所得到的圖象上所有點向左平移 個單位,所得函數(shù)圖象的解析式為( )
A.y=sin(2x﹣ )
B.y=sin(2x+ )
C.y=sin( x+ )
D.y=sin( x+ )
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【題目】在平面直角坐標系xoy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為θ= ,曲線C的參數(shù)方程為 .
(1)寫出直線l與曲線C的直角坐標方程;
(2)過點M平行于直線l1的直線與曲線C交于A、B兩點,若|MA||MB|= ,求點M軌跡的直角坐標方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次體育興趣小組的聚會中,要安排人的座位,使他們在如圖所示的個椅子中就坐,且相鄰座位(如與, 與)上的人要有共同的體育興趣愛好.現(xiàn)已知這人的體育興趣愛好如下表所示,且小林坐在號位置上,則號位置上坐的是( )
小林 | 小方 | 小馬 | 小張 | 小李 | 小周 | |
體育興趣愛好 | 籃球,網(wǎng)球,羽毛球 | 足球,排球,跆拳道 | 籃球,棒球,乒乓球 | 擊劍,網(wǎng)球,足球 | 棒球,排球,羽毛球 | 跆拳道,擊劍,自行車 |
A. 小方 B. 小張 C. 小周 D. 小馬
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【題目】如圖,已知二面角α﹣MN﹣β的大小為60°,菱形ABCD在面β內(nèi),A、B兩點在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中點,DO⊥面α,垂足為O.
(1)證明:AB⊥平面ODE;
(2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值.
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