精英家教網(wǎng)如圖，過拋物線x2=4y焦點的直線依次交拋物線與圓x2+（y-1）2=1于點A、B、C、D，則
AB
•
CD
的值是
 
．
分析：設(shè)A、D的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）及直線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程求出y1•y2，y1+y2，
并用y1，y2表示AF，F(xiàn)D，而所求
AB
•
CD
=
|AB
|•
|CD
|=(AF-BF)(FD-CF)=（AF-1）（FD-1），代入
上述式子中即可．
解答：解：設(shè)A、D的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），依題意知焦點F（0，1），則設(shè)直線AD方程為：y=kx+1，
聯(lián)立
y=kx+1
x2=4y
消去x，得y2-（2+4k2）y+1=0，
∴y1+y2=2+4k2，y1•y2=1
又根據(jù)拋物線定義得AF=y1+
p
2
，F(xiàn)D=y2+
p
2
，∴AF=y1+1，F(xiàn)D=y2+1
AB
•
CD
=
|AB
|•
|CD
|=(AF-BF)(FD-CF)=（AF-1）（FD-1）
=y1•y2=1．
故答案為1
點評：此題設(shè)計構(gòu)思比較新穎，考查拋物線的定義及巧妙將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化，
同時在解答過程中處理直線和拋物線的關(guān)系時運用了設(shè)而不求的方法．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點．
（I）設(shè)點P分有向線段
AB
所成的比為λ，證明：
QP
⊥(
QA
-λ
QB
)
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點．
（I）若
AP
=λ
PB
(λ∈R)，證明：λ=-
x1
x2
；
（II）在（I）條件下，若點Q是點P關(guān)于原點對稱點，證明：
QP
⊥(
QA
-λ
QB
)；
（III）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•紹興模擬）如圖，過拋物線x2=4y焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點（A在第一象限），點C（0，t）（t＞1）．
（I）若△CBF，△CFA，△CBA的面積成等差數(shù)列，求直線l的方程；
（II）若|AB|∈(
9
2
，
64
7
)，且∠FAC為銳角，試求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2004年湖南省高考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點．
（I）設(shè)點P分有向線段所成的比為λ，證明：
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

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