如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點.
(I)若
AP
PB
(λ∈R)
,證明:λ=-
x1
x2
;
(II)在(I)條件下,若點Q是點P關(guān)于原點對稱點,證明:
QP
⊥(
QA
QB
)

(III)設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0,過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線,求圓C的方程.
分析:(I)利用向量相等
AP
PB
(λ∈R)
,即可證明;
(II)依題意,可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,代入拋物線方程,得到根與系數(shù)的關(guān)系,點Q是點P關(guān)于原點的稱點,故點Q(0,-m),從而
QP
=(0,2m)
,進而得到
QA
QB
,利用根與系數(shù)的關(guān)系及其數(shù)量積運算即可得出
QP
•(
QA
QB
)
=0即可證明
QP
⊥(
QA
QB
)

(III)直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立即可解得點A,B的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)即可切線的斜率,再利用圓的切線的性質(zhì)及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可解得.
解答:解:(I)∵
AP
PB
(λ∈R)
,∴-x1=λx2,(x2≠0),即λ=-
x1
x2

(II)依題意,可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,
代入拋物線方程x2=4y得x2-4kx-4m=0 ①
∵直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點.
∴x1x2=-4m.
點Q是點P關(guān)于原點的稱點,
故點Q(0,-m),從而
QP
=(0,2m)
,
QA
QB
=(x1,y1+m)-λ(x2,y2+m)=(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m),
QP
•(
QA
QB
)
=2m[y1-λy2+(1-λ)m]=2m[
x
2
1
4
+
x1
x2
x
2
2
4
+(1+
x1
x2
)m]
=2m[
x
2
1
4
-m+m+
mx1
x2
]
=2mx1
x1x2+4m
4x2
=0
QP
⊥(
QA
QB
)

(III)由
x-2y+12=0
x2=4y
得點A、B坐標(biāo)分別是(6,9)、(-4,4),
由x2=4y得y=
1
4
x2
,∴y=
1
2
x
,
所以拋物線x2=4y在點A處切線的斜率為y′|x=6=3.
設(shè)圓C的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
b-9
a-b
=-
1
3
(a-6)2+(b-9)2=(a+4)2+(b-4)2
,
解之得a=-
3
2
,b=
23
2
,r2=(a+4)2+(b-4)2=
125
2
,
即x2+y2+3x-23y+72=0.
點評:本題綜合考查了拋物線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓及拋物線相切問題、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率、斜率的計算公式、切線的性質(zhì)等解出知識與基本技能,考查了推理能力與計算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點,點Q是點P關(guān)于原點的對稱點.
(I)設(shè)點P分有向線段
AB
所成的比為λ,證明:
QP
⊥(
QA
QB
)

(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0,過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線,求圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,過拋物線x2=4y焦點的直線依次交拋物線與圓x2+(y-1)2=1于點A、B、C、D,則
AB
CD
的值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•紹興模擬)如圖,過拋物線x2=4y焦點F的直線l與拋物線交于A,B兩點(A在第一象限),點C(0,t)(t>1).
(I)若△CBF,△CFA,△CBA的面積成等差數(shù)列,求直線l的方程;
(II)若|AB|∈(
9
2
,
64
7
)
,且∠FAC為銳角,試求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2004年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點,點Q是點P關(guān)于原點的對稱點.
(I)設(shè)點P分有向線段所成的比為λ,證明:
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0,過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線,求圓C的方程.

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