精英家教網(wǎng)如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點,點Q是點P關于原點的對稱點.
(I)設點P分有向線段
AB
所成的比為λ,證明:
QP
⊥(
QA
QB
)

(Ⅱ)設直線AB的方程是x-2y+12=0,過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線,求圓C的方程.
分析:(Ⅰ)依題意,可設直線AB的方程為y=kx+m,代入拋物線方程x2=4y得x2-4kx-4m=0.設A、B兩點的坐標分別是(x1,y1)、(x2,y2),x1x2=-4m.由點P(0,m)分有向線段
AB
所成的比為λ,得
x1x2
1+λ
=0,即λ=-
x1
x2
.由此可以推出
QP
⊥(
QA
QB
)

(Ⅱ)由
x-2y+12=0
x2=4y
得點A、B的坐標分別是(6,9)、(-4,4).設圓C的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,則
b-9
a-b
=-
1
3
(a-6)2+(b-9)2=(a+4)2+(b-4)2.
解得a=-
3
2
,b=
23
2
,r2=(a+4)2+(b-4)2=
125
2
.所以圓C的方程是x2+y2+3x-23y+72=0.
解答:解:(Ⅰ)依題意,可設直線AB的方程為y=kx+m,代入拋物線方程x2=4y得x2-4kx-4m=0.①
設A、B兩點的坐標分別是(x1,y1)、(x2,y2),則x1、x2是方程①的兩根.
所以x1x2=-4m.
由點P(0,m)分有向線段
AB
所成的比為λ,
x1x2
1+λ
=0,即λ=-
x1
x2

又點Q是點P關于原點的對稱點,
故點Q的坐標是(0,-m),從而
QP
=(0,2m)
.
QA
QB
=(x1,y1+m)-λ(x2,y2+m)=(x1x2,y1y2+(1-λ)m)
QP
•(
QA
QB
)=2m[y1y2+(1-λ)m]
=2m[
x
2
1
4
+
x1
x2
x
2
2
4
+(1+
x1
x2
)m]=2m(x1+x2)•
x1x2+4m
4x2
=2m(x1+x2)•
-4m+4m
4x2
=0

所以
QP
⊥(
QA
QB
)

(Ⅱ)由
x-2y+12=0
x2=4y
得點A、B的坐標分別是(6,9)、(-4,4).
由x2=y得y=
1
4
x2,y′=
1
2
x

所以拋物線x2=4y在點A處切線的斜率為y'|x=6=3
設圓C的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,
b-9
a-b
=-
1
3
(a-6)2+(b-9)2=(a+4)2+(b-4)2.

解之得a=-
3
2
,b=
23
2
,r2=(a+4)2+(b-4)2=
125
2

所以圓C的方程是(x+
3
2
)2+(y-
23
2
) 2=
125
2
,
即x2+y2+3x-23y+72=0.
點評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關系,解題時要認真審題,仔細求解.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點.
(I)若
AP
PB
(λ∈R)
,證明:λ=-
x1
x2
;
(II)在(I)條件下,若點Q是點P關于原點對稱點,證明:
QP
⊥(
QA
QB
)
;
(III)設直線AB的方程是x-2y+12=0,過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線,求圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,過拋物線x2=4y焦點的直線依次交拋物線與圓x2+(y-1)2=1于點A、B、C、D,則
AB
CD
的值是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•紹興模擬)如圖,過拋物線x2=4y焦點F的直線l與拋物線交于A,B兩點(A在第一象限),點C(0,t)(t>1).
(I)若△CBF,△CFA,△CBA的面積成等差數(shù)列,求直線l的方程;
(II)若|AB|∈(
9
2
,
64
7
)
,且∠FAC為銳角,試求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:2004年湖南省高考數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點,點Q是點P關于原點的對稱點.
(I)設點P分有向線段所成的比為λ,證明:
(Ⅱ)設直線AB的方程是x-2y+12=0,過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線,求圓C的方程.

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