Question

一個(gè)數(shù)列中的數(shù)均為奇數(shù)時(shí)，稱(chēng)之為“奇數(shù)數(shù)列”． 我們給定以下法則來(lái)構(gòu)造一個(gè)奇數(shù)數(shù)列{a_n}，對(duì)于任意正整數(shù)n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=n；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=．
（1）試寫(xiě)出該數(shù)列的前6項(xiàng)；
（2）研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中的每一個(gè)奇數(shù)都會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，那么第10個(gè)5是該數(shù)列的第幾項(xiàng)？
（3）求該數(shù)列的前2ⁿ項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意可知
由此得：該數(shù)列的前6 項(xiàng)分別為1，1，3，1，5，3．
（2）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的值分別為1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)a₅=5，a₁₀=5，a₂₀=5，a₄₀=5…
即項(xiàng)的值為5時(shí)，下角碼是首項(xiàng)為5，公比為2的等比數(shù)列．
所以第10個(gè)5是該數(shù)列的第5×2^10﹣1=2560項(xiàng)．
第10個(gè)5是該數(shù)列的第2560項(xiàng)．
（3）由題意可得 T_n =[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+（a₁+a₂+a₃+…+）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+[1+3+5+7+…+（﹣1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+） …
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+[1+3+5+7+…+（2^n﹣1﹣1）]+[1+3+5+7+…+（2^n﹣2﹣1）]+…+[1+3]+[2﹣1]+1．
由于1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）==（2 ^n﹣1）²=4 ^n﹣1，
T_n =4^n﹣1+4^n﹣2+4^n﹣3+…+4¹+4⁰+1=+1=．