Question

（理）一個(gè)數(shù)列中的數(shù)均為奇數(shù)時(shí)，稱之為“奇數(shù)數(shù)列”． 我們給定以下法則來構(gòu)造一個(gè)奇數(shù)數(shù)列{a_n}，對(duì)于任意正整數(shù)n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=n；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=a

n

2

．
（1）試寫出該數(shù)列的前6 項(xiàng)；
（2）研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中的每一個(gè)奇數(shù)都會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，那么第5個(gè)5是該數(shù)列的第幾項(xiàng)？
（3）求該數(shù)列的前2ⁿ項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知an=

n，n為奇數(shù) a n 2 ，n為偶數(shù)

，（n∈N^*），由此得該數(shù)列的前6項(xiàng)．
（2）借助于遞推公式知道奇數(shù)項(xiàng)的值為其項(xiàng)數(shù)，而偶數(shù)項(xiàng)的值由對(duì)應(yīng)的值來決定．又通過前面的項(xiàng)發(fā)現(xiàn)項(xiàng)的值為5時(shí)，下角碼是首項(xiàng)為5，公比為2的等比數(shù)列．即可求出第5個(gè)5在該數(shù)列中所占的位置．
（3）由條件可得 T_n =[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a 2n）=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-1-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-2-1）]+…+（1+3）+1，根據(jù)1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）=4^n-1，可得 T_n =4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4¹+4⁰+1，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果．

解答：解：：（1）根據(jù)題意可知an=

n，n為奇數(shù) a n 2 ，n為偶數(shù)

，（n∈N^*）
由此得：該數(shù)列的前6項(xiàng)分別為1，1，3，1，5，3．
（2）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的值分別為1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)a₅=5，a₁₀=5，a₂₀=5，a₄₀=5…
即項(xiàng)的值為5時(shí)，下角碼是首項(xiàng)為5，公比為2的等比數(shù)列．
所以第5個(gè)5是該數(shù)列的第5×2^5-1=80項(xiàng)．
第5個(gè)5是該數(shù)列的第80項(xiàng)．
（3）由題意可得
T_n =[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a₂ⁿ）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+（a₁+a₂+a₃+…+a₂^n-1）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（a^2n-1-1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+a 2n-1）
…
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-1-1）]+[1+3+5+7+…+（2^n-2-1）]+…+（1+3）+1．
由于1+3+5+7+…+（2ⁿ-1）=

2n-1(1+2n-1)

2

=（2^n-1）²=4^n-1，
故 T_n =4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4¹+4⁰+1=

1×(1-4n)

1-4

+1=

4n+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列遞推公式應(yīng)用，同時(shí)考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察規(guī)律，避免錯(cuò)誤，屬于難題．