Question

已知直線l的參數(shù)方程為

x=2+ 3 2 t y= 1 2 t

(t為參數(shù))，若以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=

12

3cos2θ+4sin2θ

（1）求直線l的極坐標(biāo)方程及曲線C的參數(shù)方程；
（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）直接消去參數(shù)，即可得到普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式求解即可；
（2）根據(jù)平行線系，求解直線與橢圓相切的位置時(shí)，此時(shí)的直線方程，然后，將所求距離轉(zhuǎn)化成平行線間的距離公式求解即可．

解答： 解：（1）根據(jù)直線l的參數(shù)方程為

x=2+ 3 2 t y= 1 2 t

(t為參數(shù))，得
x-

3

y-2=0，
由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=

12

3cos2θ+4sin2θ

，得
∴3ρ²cos²θ+4（ρsinθ）²=12，
∴3x²+4y²=12，
∴

x2

4

+

y2

3

=1，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：

x2

4

+

y2

3

=1，
∴曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)）．
（2）設(shè)與直線x-

3

y-2=0平行且與橢圓相切的直線方程為：
x-

3

y-m=0，
聯(lián)立方程組

x- 3 y-m=0 x2 4 + y2 3 =1

，消去y，并整理，得
13y²+6

3

my+3（m²-4）=0，
∵△=0，
∴9m²-13m²+13×4=0，
∴m=±

13

．
故切線方程為：
x-

3

y±

13

=0，
當(dāng)取直線x-

3

y-

13

=0時(shí)，所求距離最大，
d=

|2 13 |

1+(- 3 )2

=

13

，
所求最大距離為

13

．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程互化、參數(shù)方程和普通方程的互化，直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．